IHES Rapport annuel 2021 | 4140 | IHES Rapport annuel 2021

Olivia CARAMELLO Mathématique, professeure associée, Università degli studi dell'Insubria.

Dans l'article The over-topos at a Model, OLIVIA CARAMELLO et Axel Osmond associent un modèle de théorie géométrique dans un topos arbitraire à un site obtenu en dotant une catégorie d'éléments généralisés du modèle avec une topologie de Grothendieck, qu'ils ont appélé la topologie des antécédents. Ils ont ensuite montré que le topos de faisceaux associé, appelé le sur-topos du modèle donné, admet un morphisme canonique totalement connecté au topos de base donné et satisfait une propriété universelle généralisant celle de la colocalisation d'un topos en un point. Ils ont d abord traité le cas du topos de base des ensembles, où les éléments globaux sont suffisants pour décrire le site de définition ; dans

ce contexte, ils ont également introduit une théorie géométrique classifiée par le sur-topos, dont les modèles peuvent être identifiés avec les homomorphismes de modèle vers le (les internalisations du) modèle. Ensuite, ils ont formulé et prouvé l'énoncé général sur un topos arbitraire, qui implique le champ d'éléments généralisés du modèle. Enfin, ils ont étudié les aspects géométriques et 2-catégoriels de la construction du sur-topos, en l'exposant comme une bi-limite dans la bi-catégorie des topos de Grothendieck. L'article d'Olivia Caramello et de Riccardo Zanfa Relative Topos Theory via Stacks introduit de nouveaux fondements pour la théorie des topos relatifs basés sur les champs. L'un des résultats centraux de leur théorie est une adjonction entre la catégorie des topos sur le topos des faisceaux sur un site donné (C,J) et celle des catégories indexées sur C. Cela représente une large généralisation de l'adjonction classique entre les pré- faisceaux sur un espace topologique et les fibrés sur cet espace, et permet d'interpréter plusieurs constructions sur les faisceaux et les champs d'une manière géométrique. Cela conduit en particulier à des descriptions fibrationnelles des images directes et inverses des faisceaux et des champs, ainsi qu'à une compréhension géométrique du processus de « faisceautisation ». Cela permet aussi naturellement de considérer tout topos de Grothendieck comme un « petit » topos associé à un « gros » topos, apportant ainsi une solution à un problème posé par Grothendieck dans les années 70. Un autre ingrédient clé de leur théorie est la notion de site relatif, qui permet de représenter des morphismes géométriques arbitraires vers un topos de base donné de faisceaux sur un site comme des morphismes de structure induits par des sites relatifs sur ce site.

ACTIVITÉ SCIENTIFIQUE

Chaire Israel Gelfand de mathématique

CONFÉRENCES

Allemagne Geometric Logic, Constructivisation, and Automated Theorem Proving, Schloss Dagstuhl Centre Leibniz d informatique, Wadern (22 novembre) Deductive Systems and Grothendieck Topologies (visioconférence)

États-Unis Logic Seminar, University of Wisconsin-Madison (1er novembre) Relative Topos Theory via Stacks (séminaire en visioconférence)

Italie Logic and Philosophy of Science Seminar, Università degli studi di Palermo (28 avril) Unification and Morphogenesis: a Topos theoretic Perspective (exposé en visioconférence)

Topoi come ponti unificanti: una morfogenesi matematica, Università degli studi di Urbino Carlo Bo, Urbino (30 avril) (exposé en visioconférence)

SmartData@PoliTO, Turin (27 mai) Toposes as Bridges for Mathematics and Artificial Intelligence (visioconférence)

ItaCa Fest 2021, Italian Category theorists ItaCa (15 juin) Relative Topos Theory via Stacks (visioconférence)

Unifying Themes in Geometry, Lake Como School of Advanced Studies, Como (28 septembre) Introduction to Relative Topos Theory (visioconférence)

Visioconférence School on Toposes Online (24 - 26 juin) Introduction to Sheaves, Stacks and Relative Toposes (4 cours en visioconférence)

DISTINCTIONS

Prix AILA (2011) Bourse L'Oréal UNESCO pour les femmes et la science (2014) Programme "Rita Levi Montalcini" du Ministère italien de l'Éducation, de l'Université et de la Recherche (depuis 2017)

Éditrice de : Logica Universalis

PUBLICATIONS

La notion unificatrice de topos Lectures grothendieckiennes, Spartacus & SMF, 2021.

Avec R. Zanfa Relative Topos Theory via Stacks Prépublication arXiv:2107.04417.

On the Dependent Product in Toposes Math. Logic Quarterly 67(3), 2021.

Avec A. Osmond The Over topos at a Model Prépublication arXiv:2104.05650.